Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）實數(shù)的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）當時，得到和，求得和的解集，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）不等式對任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，令，單調(diào)性和極值（最值）即可求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）當時，，，

由，解得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

由，解得或，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2）不等式，即，所以對任意的，不等式恒成立，

可轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，

令，

所以，當時，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，即，

故在上單調(diào)遞減，

則，

故不等式恒成立，只需，即．

所以實數(shù)的取值范圍是．