Question

過拋物線焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），過其焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁、B₁．
（1）求出拋物線的通徑，證明x₁x₂和y₁y₂都是定值，并求出這個定值；
（2）證明：A₁F⊥B₁F．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB⊥x時，根據(jù)拋物線方程得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直接計算可得通徑的長，并且x1x2=

p2

4

、y1y2=-p2，是定值；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)AB方程的點(diǎn)斜式形式，并且與拋物線聯(lián)解消去x得到關(guān)于y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出y1y2=-p2，結(jié)合拋物線方程即可得到x1x2=

p2

4

，從而使命題得到證明．
（2）根據(jù)題意，得出A₁、B₁的坐標(biāo)，從而得到向量

FA1

、

FB1

的坐標(biāo)，計算

FA1

、

FB1

數(shù)量積并進(jìn)行化簡得到0，由此即可得到A₁F⊥B₁F．

解答：解：∵拋物線方程是y²=2px，
∴拋物線的焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，準(zhǔn)線x=-

p

2

（1）①當(dāng)AB⊥x時，可得A(

p

2

，p)、B(

p

2

，-p)，
∴通徑長為p-（-p）=2p，
可得此時x1x2=

p2

4

且y1y2=-p2，是定值．
②AB與x軸不垂直時，設(shè)AB：y=k(x-

p

2

)（k≠0）
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去x，得

k

2p

y2-y-

kp

2

=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2=-p2，
再代入到拋物線方程，可得x1x2=

y12

2p

×

y22

2p

=

p2

4

，是定值．
綜上所述，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，必有x1x2=

p2

4

、y1y2=-p2是定值；
（2）根據(jù)題意，可得A1(-

p

2

，y1)、B1(-

p

2

，y2)，F(

p

2

，0)
∵焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，
∴

FA1

=(p，y1)，

FB1

=(p，y2)，
由此可得

FA1

•

FB1

=p2+y1y2=p2+(-p2)=0，
∴

FA1

⊥

FB1

，即A₁F⊥B₁F．

點(diǎn)評：本題給出拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），它們在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為A₁、B₁，求證x₁x₂和y₁y₂都是定值并證明A₁F⊥B₁F．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．