Question

過拋物線y²=2px(p＞0)的對稱軸上的定點(diǎn)M(m,0)(m＞0),作直線AB與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).

(1)試證明A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;

(2)若點(diǎn)N是定直線l:x=－m上的任意一點(diǎn),分別記直線AN,MN,BN的斜率為k₁,k₂,k₃,試探求k₁,k₂,k₃之間的關(guān)系,并給出證明.

Answer 1

證明：(1)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)有y₁y₂=－2pm,下證之:

設(shè)直線AB的方程為:x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得,消去x得y²－2pty－2pm=0,

由韋達(dá)定理得y₁y₂=－2pm.

(2)三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之:

設(shè)點(diǎn)N(－m,n),則直線AN的斜率為;

直線BN的斜率為,

∴.

又∵直線MN的斜率為

∴k_AN+k_BN=2k_MN,即直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列.