Question

 已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，且

 (1）求的解析式，    

(2)用定義證明：在上是增函數(shù)，

（3）若實數(shù)滿足，求實數(shù)的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）見解析；(3) 0<<。

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，知f(0)=0,可得b=0,然后再根據(jù),求出a值.從而確定f(x)的解析式.

（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有三：一是取值.二是作差變形，判斷符號；三是得出結(jié)論.

（3）解此類抽象不等式關(guān)鍵是  ∴<-，再根據(jù)奇函數(shù)轉(zhuǎn)化為<，再利用單調(diào)性脫掉法則符號f,從而轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系即可解決.

（1） ∵函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)  ∴

∴——————————2

又    ∴

        ∴    ——————————————4

  （2）任取且

      

                    ————————6

      ∵   ∴      

      ∴  即

      ∴ 在上是增函數(shù)————————————8

(3)  ∴<-

又由已知是上的奇函數(shù)

∴< ----------------------10

∵是上的增函數(shù)

      ————————————13

∴0<<--------------------------------14

考點：本小題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及解抽象不等式等知識.

點評： 當(dāng)奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時，要注意f(0)=0這個條件的使用.利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明時，關(guān)鍵是作差變形確定差值符號，一般要分解成若干個因式積的形式，通過判斷每個因式的符號來判斷差值符號.

在解抽象不等式時，要注意利用單調(diào)性把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系從而轉(zhuǎn)化為普通不等式來解.