Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在軸上，離心率為，坐標原點到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點，在線段上是否存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解:(I）由已知，橢圓方程可設為

設，直線，由坐標原點到的距離為

則，解得 .……………　2分

又=，故=，=1∴所求橢圓方程為．……………　4分

（II）假設存在點滿足條件,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為，

由 可得．……………　6分

由恒成立，∴．

設線段PQ的中點為，

則 ……………　8分

∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，

∴MN⊥PQ ∴……………　10分

即，

……………　12分