Question

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面.

(1)設BD與AC的交點為O，求證:平面；

(2)求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) ．

【解析】

（1）根據題意，推導出面，，，結合線面垂直的判定定理證得面；

（2）以為原點，，，方向建立空間直角坐標系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后應用平方關系求得正弦值，得到結果.

(1) 證明：由題意可知：面，

從而，，又為中點，

，在中，，

，又，

面．

（2）面，且，

如圖以為原點，，，方向建立空間直角坐標系，

從而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，

由（1）可知，1，是面的一個法向量，

設，，為面的一個法向量，

由，令得，，，

設為二面角的平面角，

則，．

二面角的正弦值為．