Question

2．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的兩底面為等腰三角形，直角邊AB=AC=6，BC₁⊥AC，BC₁=2$\sqrt{6}$，側(cè)棱CC₁與平面ABC₁成60°角．
（1）求證：平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）求BC與平面AA₁C₁C所成的角；
（3）求這個三棱柱的體積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）設(shè)B到平面ACC₁的距離為h，運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和等積法，求得h，求得線面所成角的正弦即可；
（3）將該三棱柱，補(bǔ)成一個四棱柱，三棱柱的體積為四棱柱的一半．計算即可得到．

解答 解：（1）證明：由題意AC⊥AB，AC⊥BC₁，
即有AC⊥平面ABC₁，
AC?平面ABC，
則平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）設(shè)B到平面ACC₁的距離為h，
由AC⊥平面ABC₁，
可得側(cè)棱CC₁與平面ABC₁成60°角，即為∠ACC₁=60°，
在直角三角形ACC1中，AC₁=6$\sqrt{3}$，CC₁=12，
在△ABC₁中，AB=6，BC₁=2$\sqrt{6}$，AC₁=6$\sqrt{3}$，
cos∠BAC₁=$\frac{36+36×3-24}{2×6×6\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3\sqrt{3}}$，
則${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=6$\sqrt{2}$，
由等積法，可得${V}_{B-AC{C}_{1}}$=${V}_{C-AB{C}_{1}}$，
即為$\frac{1}{3}$h•$\frac{1}{2}$•6•6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$•6•6$\sqrt{2}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
即有BC與平面AA₁C₁C所成的角的正弦為$\frac{h}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$•$\frac{1}{6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
則BC與平面AA₁C₁C所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{9}$'
（3）將該三棱柱，補(bǔ)成一個四棱柱，如圖．
則三棱柱的體積為四棱柱的一半．
即有體積為$\frac{1}{2}$h•${S}_{AC{C}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$•6•6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查美夢成真的判定和線面所成角的求法、三棱柱的體積的求法，考查空間線面位置關(guān)系的運(yùn)用，等積法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．