Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ），對(duì)進(jìn)行分類討論分和兩種情況，畫出相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的草圖，得出結(jié)論；

（Ⅱ） 即，則，對(duì)則求導(dǎo)，判斷單調(diào)性得出最大值點(diǎn)進(jìn)行求解

（Ⅰ）由題可得，

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）即，即，

令，則．

易得，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，

①當(dāng)時(shí)，，則，所以，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，滿足；

②當(dāng)時(shí)，，，，，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，所以，所以不滿足．

綜上可得，故的取值范圍為．