Question

11．判斷函數(shù)y=$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$的單調(diào)性．

Answer 1

分析 可根據(jù)單調(diào)性的定義判斷：先求出定義域為[1，3]，從而在定義域內(nèi)任意設(shè)x₁＜x₂，然后作差，分子有理化，提取公因式x₁-x₂，從而得到${y}_{1}-{y}_{2}=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$，從而可以判斷x₁，x₂∈[1，2），和x₁，x₂∈（2，3]時的y₁，y₂的大小關(guān)系，從而判斷出該函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：解4x-x²-3≥0得，1≤x≤3；
設(shè)x₁，x₂∈[1，3]，且x₁＜x₂，則：
${y}_{1}-{y}_{2}=\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}-\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}$=$\frac{4{x}_{1}-4{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴①若x₁，x₂∈[1，2），則4-（x₁+x₂）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
②若x₁，x₂∈（2，3]，則4-（x₁+x₂）＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（2，3]上單調(diào)遞減．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性的定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），帶根號的情況一般需進行分子有理化，并且一般需提取公因式x₁-x₂．