Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．

I．證明ADD₁F；

II．求AE與D₁F所成的角；

III．證明面AED面A₁FD₁；

IV．設(shè)AA₁=2,求三棱錐F－A₁ED₁的體積

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：∵AC1是正方體, ∴AD⊥面DC1． 又D1F面DC1, ∴AD⊥D1F． (Ⅱ)解：取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,FG．因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>F是CD的中點(diǎn),所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F． 設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H,則∠AHA1是AE與D1F所成的角,因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>E是BB1的中點(diǎn),所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90°,即直線AE與D1F所成角為直角． (Ⅲ)證明：由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED．又因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style: normal'>D1F面A1FD1 ,所以面AED⊥面A1FD1．       (Ⅳ)解：連結(jié)GE,GD1． ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1, ∴ ∵AA1=2, ∴正方形ABB1A1 ∴