Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）在$x=\frac{π}{12}$時取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{12}{5}$，求cos（3α+π）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值確定A，和φ的值即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡求解即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）在$x=\frac{π}{12}$時取得最大值4且A＞0．
所以A=4，且sin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=1，所以$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
又因為 0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{4}$，…3分
即$f（x）=4sin（3x+\frac{π}{4}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，…5分
得$-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z$．．…7分   
所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}]，k∈Z$．…8分
（2）因為$f（α+\frac{π}{12}）=4sin[3×（α+\frac{π}{12}）+\frac{π}{4}]=4sin（3α+\frac{π}{2}）=4cos3α=\frac{12}{5}$，，
 所以$cos3α=\frac{3}{5}$．…11分                          
 因此$cos（3α+π）=-cos3α=-\frac{3}{5}$．．…14分

點評 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及三角函數(shù)值的化簡和求解，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．