Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-2ax³（a＞0），若|f（x）|≥$\frac{1}{2}$對(duì)于任意的x∈（0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{e}}{6}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{e}}{6}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=2ax³-lnx，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，利用最小值大于等于1，即可確定實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答 解：顯然x=1時(shí)，有|2a|≥$\frac{1}{2}$，a≤-1或a≥$\frac{1}{4}$．
由a＞0，即有a≥$\frac{1}{4}$；
令g（x）=2ax³-lnx，g′（x）=6ax²-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′（x）=$\frac{6a{x}^{3}-1}{x}$=0，
解得x=$\root{3}{\frac{1}{6a}}$，
函數(shù)在（0，$\root{3}{\frac{1}{6a}}$）上單調(diào)遞減，在（$\root{3}{\frac{1}{6a}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|g（x）|的最小值為g（$\root{3}{\frac{1}{6a}}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$ln（6a）≥$\frac{1}{2}$，
解得：a≥$\frac{\sqrt{e}}{6}$．
∴實(shí)數(shù)a取值范圍是[$\frac{\sqrt{e}}{6}$，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．