Question

【題目】如下圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐）的頂點(diǎn)分別在軸， 軸， 軸上.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)，寫出A，B，C的坐標(biāo)，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的坐標(biāo)，只要它與平面的法向量垂直，即可證明線面平行；

（Ⅱ）求二面角，可取AB的中點(diǎn)F，由能證明∠CFD是所求二面角的平面角，在中由得余弦定理可得余弦值．也可求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦可得二面角的余弦．

試題解析：

（Ⅰ）由，易知.

設(shè)，則， ， ， ,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，

可得 ，

解得，

所以.

又平面的一個法向量為，

所以，所以平面.

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，

則， ， 為二面角的平面角.

由（Ⅰ）知，在中， ， ，

則由余弦定理知，即二面角的余弦值為.