Question

已知函數(shù) ．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為{x|x＞0}，…．（1分）
當a=-時，f′（x）=-，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得極值點x=2，

x	[1，2）	2	（2，e]
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	2ln2-1	減

…．（4分）
∵f（1）=-，f（e）=2-，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=，…．（8分）
①0＜a＜時，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），（，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（2，）； …．（10分）
②a=時，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且當且僅當f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增； …．（11分）
③當a＞時，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），（2，+∞），
由f′（x）＜0得＜x＜2，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（，2）．…．（13分）
分析：（Ⅰ）當a=-時，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得極值點，將x的取值情況，f′（x）正負情況及f（x）的增減情況列表，可求得函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由于2-=，對0＜a＜，a=及a＞時分類討論，根據(jù)f′（x）的正負情況即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，突出考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與分析推理能力，屬于難題．