Question

設是定義在的可導函數(shù)，且不恒為0，記．若對定義域內(nèi)的每一個，總有，則稱為“階負函數(shù) ”；若對定義域內(nèi)的每一個，總有，則稱為“階不減函數(shù)”（為函數(shù)的導函數(shù)）．

（1）若既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對任給的“2階不減函數(shù)”，如果存在常數(shù)，使得恒成立，試判斷是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）所有滿足題設的都是“2階負函數(shù)”

【解析】

試題分析：解：（1）依題意，在上單調(diào)遞增，

故 恒成立，得，             2分

因為，所以．                        4分

而當時，顯然在恒成立，

所以．                                       6分

（2）①先證：

若不存在正實數(shù)，使得，則恒成立．     8分

假設存在正實數(shù)，使得，則有，

由題意，當時，，可得在上單調(diào)遞增，

當時，恒成立，即恒成立，

故必存在，使得（其中為任意常數(shù)），

這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設不成立，

所以當時，，即；            13分

②再證無解：

假設存在正實數(shù)，使得，

則對于任意，有，即有，

這與①矛盾，故假設不成立，

所以無解，

綜上得，即，

故所有滿足題設的都是“2階負函數(shù)”．             16分

考點：新定義

點評：主要是考查了新定義的運用，以及函數(shù)與方程的運用，屬于中檔題。