Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，斜率為1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

求橢圓的方程；

若P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

利用點(diǎn)差法得出，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出a和b的值，從而可得出橢圓的方程；

先得出橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，然后由橢圓和雙曲線的定義計(jì)算出各邊邊長，最后利用余弦定理求出的值．

解：設(shè)點(diǎn)、，則直線AB的斜率為．

由于線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，所以，，

則原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)的連線的斜率為．

所以，．

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，

上述兩時(shí)相減得，，，則，

因此，橢圓的方程為；

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，

由于點(diǎn)P是雙曲線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，由雙曲線和橢圓的定義得，得，

由余弦定理得．