Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x+1

，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）令g（x）=

f(x)x≥0 f(-x)x＜0

，若函數(shù)y=g（x）的圖象始終在直線y=1的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）奇函數(shù)f（x）在x=0處有定義，則f（0）=0，即可得到a；
（2）判斷g（x）為偶函數(shù)，則有g(shù)（x）＞1等價為f（x）＞1在[0，+∞）上恒成立．判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到最大值，令a大于最大值即可．

解答： 解：（1）定義域為R，且f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=0，
即有a-

1

2

=0，即a=

1

2

；
（2）g（x）=

f(x)，x≥0 f(-x)，x＜0

，
當(dāng)x=0時，g（0）=f（0），
當(dāng)x＞0時，-x＜0，g（-x）=f（x）=g（x），
當(dāng)x＜0時，-x＞0，g（-x）=f（-x）=g（x），
綜上可得，g（-x）=g（x）．
g（x）為偶函數(shù)．
函數(shù)y=g（x）的圖象始終在直線y=1的上方，即有g(shù)（x）＞1在R上恒成立．
由于g（x）為偶函數(shù)，則有f（x）＞1在[0，+∞）上恒成立．
f（x）＞1?a-

1

2x+1

＞1?a＞1+

1

2x+1

，
由于2^x在[0，+∞）遞增，則1+

1

2x+1

在[0，+∞）遞減，
由于2^x≥1，則1+

1

2x+1

≤

3

2

，
則a＞

3

2

．
則a的取值范圍是（

3

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查不等式的恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．