Question

定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²，若函數f（x）的圖象上所有極大值對應的點均落在同一條直線上，則c等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．4或2

Answer 1

【答案】分析：由已知可得分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，根據三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構造關于c的方程，解方程可得答案．
解答：解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²
當1≤x＜2時，2≤2x＜4，
則f（x）=f（2x）=[1-（2x-3）²]
此時當x=時，函數取極大值
當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²
此時當x=3時，函數取極大值1
當4＜x≤8時，2＜x≤4
則f（x）=cf（x）=c（1-（x-3）²，
此時當x=6時，函數取極大值c
∵函數的所有極大值點均落在同一條直線上，
即點（，），（3，1），（6，c）共線，
∴
解得c=1或2．
故選C
點評：本題考查的知識點是三點共線，函數的極值，其中根據已知分析出分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，是解答本題的關鍵．