Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+2blnx，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處得切線(xiàn)方程為y=x+2-6ln2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及切線(xiàn)方程求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出函數(shù)的極值．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+$\frac{2b}{x}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處得切線(xiàn)方程為y=x+2-6ln2．
∴f′（2）=1，f（2）=4-6ln2，
∴4a+b=1，4a+2bln2=4-6ln2，
∴a=1，b=-3，
（2）由（1）知，f（x）=x²-6lnx，f′（x）=$\frac{2x（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{x}$，
∴函數(shù)在（0，$\sqrt{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=$\sqrt{3}$時(shí)，函數(shù)取得極小值6-3ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及函數(shù)極小值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．