Question

如圖，l₁、l₂是通過某市開發(fā)區(qū)中心O的南北和東西走向的兩條道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線l₁對稱．M到l₁、l₂的距離分別是2 km、4 km，N到l₁、l₂的距離分別是3 km、9 km.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程；

(2)該市擬在點O的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點O的距離大于5 km而不超過8 km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于 km，求該廠離點O的最近距離．(注：工廠視為一個點)

Answer 1

解：

(1)分別以l₂、l₁為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則M(2,4)，N(3,9)．

設(shè)MN所在拋物線的方程為y＝ax²＋c，則有解得

故所求拋物線弧MN的方程為

y＝x²(2≤x≤3)．

(2)設(shè)拋物線弧上任意一點P(x，x²)(2≤x≤3)，

廠址為點A(0，t)(5＜t≤8)．

∴t的最小值為.

所以，該廠距離點O的最近距離為6.25 km.