Question

17．函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{{x^2}-{x^4}}}}{{\left|{x-2}\right|-2}}$．給出函數(shù)f（x）下列性質(zhì)：①函數(shù)的定義域和值域均為[-1，1]；②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；③函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；④$\int_a^b{f（x）dx=0}$（其中a，b為函數(shù)在定義域上的積分下限和上限）；⑤M，N為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)，則$\sqrt{2}＜\left|{MN}\right|≤2$．則關(guān)于函數(shù)f（x）性質(zhì)正確描述的序號(hào)為（　　）

• A． ①②⑤
• B． ①③⑤
• C． ②③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①先求定義域，根據(jù)定義域化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷．
④根據(jù)奇函數(shù)的積分性質(zhì)進(jìn)行判斷．
⑤根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的意義進(jìn)行判斷．

解答 解：要使函數(shù)有意義，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{x}^{4}≥0}\\{|x-2|≠2}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤1且x≠0，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]，故①不正確．
根據(jù)函數(shù)的定義域可將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為$f（x）=\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{2-x-2}=-\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{x}$，
所以$f（-x）=\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{x}$=-f（x），即函數(shù)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故②正確，
③∵函數(shù)的定義域是間斷的，
∴函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，故③錯(cuò)誤，
④∵函數(shù)f（x）在定義域上為奇函數(shù)，
∴$\int_a^b{f（x）dx=0}$，故④正確，
⑤∵M(jìn)，N為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)，所以|MN|＞0，而不是|MN|＞$\sqrt{2}$，故⑤錯(cuò)誤，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，求出定義域后化簡(jiǎn)解析式是解決本題的關(guān)鍵．