Question

8．求滿(mǎn)足下列條件的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1；
（2）a₁=1，a_n+1 =2ⁿa_n；
（3）a₁=2，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0）；
（4）a₁=1，a_n+1=2a_n+1；
（5）a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=a_n+2n+1可知a_n=a_n-1+2（n-1）+1，a_n-1=a_n-2+2（n-2）+1，…，a₂=a₁+2•1+1，累加計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n+1 =2ⁿa_n，可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2^n-2，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，累乘計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)對(duì)a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)、計(jì)算可知數(shù)列{log₂a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（4）通過(guò)對(duì)a_n+1=2a_n+1變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進(jìn)而數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（5）通過(guò)對(duì)a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，進(jìn)而數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n=a_n-1+2（n-1）+1，
a_n-1=a_n-2+2（n-2）+1，
…
a₂=a₁+2•1+1，
累加得：a_n=a₁+2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）
=1+2•$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1
=n²；
（2）∵a_n+1 =2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2^n-2，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2•2²•…•2^n-2•2^n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（3）∵a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0），
∴l(xiāng)og₂a_n+1=log₂a${\;}_{n}^{2}$=2log₂a_n，
∴$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=2，
又∵log₂a₁=log₂2=1，
∴數(shù)列{log₂a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂a_n=2^n-1，
∴a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$；
（4）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；
（5）∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．