Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與a＝（3，－1）共線。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為=1（a>b>0）,F(c,0),

則直線AB的方程為y=x－c,

代入=1，化簡得（a²+b²）x²－2a²cx+a²c²－a²b²=0.

令A(yù)(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則         x₁+x₂=.

由=（x₁+x₂,y₁+y₂）,a=(3,－1), 與a共線，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0。

又y₁=x₁－c,y₂=x₂－c,                                        ∴3(x₁+x₂－2c)+(x₁+x₂)=0,       ∴x₁+x₂=.

即      所以a²=3b².

∴    c=,故離心率e=

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ）知a²=3b²,所以橢圓=1可化為x²+3y²=3b².

設(shè)=(x,y),由已知得

（x,y）=(x₁,y₁)+μ(x₂,y₂),

        x= x₁+μx₂,

∴  y=y₁+μy₂

∴M(x,y)在橢圓上，∴（x₁+μx₂）²+3(y₁+μy₂)²=3b².

即   ²（x+3y）+μ²(x+3y)+2μ(x₁x₂+3y₁y₂)=3b².             ①

由（Ⅰ）知x₁+x₂=c，a²=c²，b²=c².

∴x₁x₂=

∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x₁－c)(x₂－c)

=4x₁x₂－3(x₁+x₂)c+3c²

=c²－c²+3c²

=0.

又x+3y=3b²,x+3y=3b²,代入①得²+μ²=1。

故²+μ²為定值，定值為1.