Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P_n（n，n²）（n∈N₊）是拋物線y=x²上的點(diǎn)，△OP_nP_n+1的面積為S_n．
（1）求S_n；
（2）化簡；
（3）試證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意利用直線所過的兩個點(diǎn)寫出直線的方程，要求三角形的面積，有面積公式，應(yīng)先求出線段P_nP_n+1的長度，再有點(diǎn)到直線的距離公式求出距離，利用公式求出即可；
（2）有（1）可知S_n=的式子，有式子的特點(diǎn)選擇裂項(xiàng)相消求和即可；
（3）有S_n，應(yīng)該先求出S₁，S₂…S，在利用累加法求證結(jié)論即可．
解答：（1）依題意，P_n+1（n+1，（n+1）²），直線P_nP_n+1的方程為，
即（2n+1）x-y-n（n+1）=0，=，
點(diǎn)O到直線P_nP_n+1的距離，
所以．
（2），
，
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180831196996931/SYS201310241808311969969019_DA/9.png">，
從而，，，
，
以上各式累加得．
點(diǎn)評：此題考查了求直線的方程的兩點(diǎn)式點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式及數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求和，還考查了數(shù)列的累加法．