Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求證：AF⊥DB；

(2)如果圓柱與三棱錐D－ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE． ∵EB平面ABE， ∴DA⊥EB． ∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上， ∴AE⊥EB，又AE∩AD=A， 故得EB⊥平面DAE． ∵AF平面DAE， ∴EB⊥AF． 又AF⊥DE，且EB∩DE=E， 故得AF⊥平面DEB． ∵DB平面DEB， ∴AF⊥DB．  (2) 解：過點E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH．根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線．且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABCD． 又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，從而 ∠EDH是DE與平面ABCD所成的角． 設(shè)圓柱的底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是 V圓柱=2πR 3， 由V圓柱：VD－ABE=3π，得EH=R，可知H是圓柱底面的圓心，AH=R， DH= ∴∠EDH=arcctan=arcctan，