Question

（本小題滿分12分）

如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法1：設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）依題意，

得，

所以.

在正方體中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051817511742187023/SYS201205181752219375514822_DA.files/image005.png">,所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則

.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

設(shè)F是棱上的點(diǎn)，則.又，所以

.而，于是

為的中點(diǎn)，這說明在棱上存在點(diǎn)F(的中點(diǎn))，使.[來源:ZXXK]

解法2：（Ⅰ）如圖（a）所示，取的中點(diǎn)M，連結(jié)EM,BM.因?yàn)镋是的中點(diǎn)，四邊形為正方形，所以EM∥AD.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.

事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.

因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以

，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

 

【解析】略