Question

若直線y=x+b是曲線y=xlnx的一條切線，則實數(shù)b=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)切點為（x₀，x₀lnx₀），對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)得y′=lnx+1，從而得到切線的斜率k=lnx₀+1，結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程為y=（lnx₀+1）x-x₀，對照已知直線列出關(guān)于x₀、b的方程組，解之即可得到實數(shù)b的值．

解答： 解：設(shè)切點為（x₀，x₀lnx₀），
對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)，得y′=lnx+1，
∴切線的斜率k=lnx₀+1，
故切線方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
整理得y=（lnx₀+1）x-x₀，
與y=x+b比較得

lnx0+1=1 -x0=b

，
解得x₀=1，故b=-1．
故答案為：-1．

點評：本題給出曲線y=xlnx的一條切線的斜率，求切線在y軸上的截距值，著重考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等知識，屬于中檔題．