Question

9．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求直線2x-y+4=0被圓C所截得的弦長；
（2）求過點M（3，1）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C（1，2）到直線2x-y+4=0的距離，即可求直線2x-y+4=0被圓C所截得的弦長；
（2）分類討論，利用圓心C（1，2）到直線kx-y-3k+1=0的距離等于r，即可求過點M（3，1）的圓C的切線方程．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-2）²=4的圓心為（1，2），半徑長r=2，
（1）圓心C（1，2）到直線2x-y+4=0的距離為：$d=\frac{{|{2×1-2+4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，
所以直線2x-y+4=0被圓C所截得的弦長為：$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-{{（{\frac{4}{{\sqrt{5}}}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
（2）因為（3-1）²+（1-2）²=5＞4，所以點M在圓外，
當切線斜率存在時，設切線方稱為：y-1=k（x-3）
即kx-y-3k+1=0，
圓心C（1，2）到直線kx-y-3k+1=0的距離為：$d=\frac{{|{k-2-3k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$
由題意有：$d=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2=r$，所以$k=\frac{3}{4}$
此時切線方稱為：$y-1=k=\frac{3}{4}（{x-3}）$，即3x-4y-5=0，
當切線斜率不存在時，直線x=3也與圓相切．
綜上所述，所求切線方稱為：3x-4y-5=0或x=3．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．