Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO（如圖所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；

（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）重心為G的軌跡方程為

（Ⅱ）△AOB的面積存在最小值，最小值是1。

【解析】試題分析：（I）設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則   （1）

∵OA⊥OB ∴,即，(2)

又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得

∴

所以重心為G的軌跡方程為

（2）

由（I）得

當且僅當即時，等號成立。

所以△AOB的面積存在最小值，最小值是1。

考點：本題主要考查了軌跡方程的求法、重心定理的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用。

點評：本題綜合性強既考查了學(xué)生的計算能力，又兼顧了知識的綜合應(yīng)用。（1）中給的是A、B的條件，要求重心G的軌跡方程，先化簡A、B的關(guān)系式，再利用重心定理找到G點坐標與AB坐標的關(guān)系，化簡出G的軌跡方程；（2）在求最值時。常用求導(dǎo)和基本不等式來求，本題中具備為定值這一條件，所以選擇用基本不等式求解，注意等號成立的條件的應(yīng)用。