Question

(本題滿分13分) 如圖，是離心率為的橢圓,
：()的左、右焦點(diǎn)，直線：將線段分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1 : 3．設(shè)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為，理由見(jiàn)解析

解析試題分析：(Ⅰ) 設(shè)，則＝，所以＝1．
因?yàn)殡x心率e＝，所以＝．
所以橢圓C的方程為．                                                      ……5分
(Ⅱ) 當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為＝－，
此時(shí)(，0)、(,0) ，．不合題意；                           ……7分
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)(－，) (≠0)，直線的斜率為，
．
由  得＝0，則，
故．此時(shí)，直線斜率為，的直線方程為．
即．
聯(lián)立 消去，整理得．
所以，．                                           ……10分
由題意0，于是

                      =0．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d6/0/1dx6x2.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓內(nèi)，符合條件；
綜上，存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為．                               ……13分
考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評(píng)：設(shè)直線方程時(shí)，要考慮到直線方程斜率是否存在；對(duì)于探究性問(wèn)題，可以先假設(shè)存在，再進(jìn)行計(jì)算，如果能求出來(lái)，就說(shuō)明存