Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，代入S_n=2a_n-a₁計(jì)算可知a_n+1=2a_n，通過(guò)a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，可求出首項(xiàng)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=2a_n-a₁，
∴a₂=S₂-S₁=2a₂-a₁-a₁，
整理得：a₂=2a₁，
同理a₃=S₃-S₂=2a₃-a₁-2a₂+a₁，
整理得：a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
解得：a₁=2，
又∵a_n+1=S_n+1-S_n
=（2a_n+1-a₁）-（2a_n-a₁）
=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=2•{2}^{n-1}$=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．