精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

平面內(nèi)有向量 $數(shù)學(xué)公式$ =（1，7）， $數(shù)學(xué)公式$ =（5，1）， $數(shù)學(xué)公式$ =（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當(dāng) $數(shù)學(xué)公式$ • $數(shù)學(xué)公式$ 取最小值時，求 $數(shù)學(xué)公式$ 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AXB的值．

解：（1）設(shè) $\text{[math]}$ =（x，y），
∵點X在直線OP上，∴向量 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 共線．
又 $\text{[math]}$ =（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴ $\text{[math]}$ =（2y，y）．又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（1，7），
∴ $\text{[math]}$ =（1-2y，7-y）．
同樣 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（5-2y，1-y）．
于是 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴當(dāng)y=2時， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 有最小值-8，此時 $\text{[math]}$ =（4，2）．
（2）當(dāng) $\text{[math]}$ =（4，2），即y=2時，有 $\text{[math]}$ =（-3，5）， $\text{[math]}$ =（1，-1）．
∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．
∴cos∠AXB= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因為點X在直線OP上，向量 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 共線，可以得到關(guān)于 $\text{[math]}$ 坐標(biāo)的一個關(guān)系式，再根據(jù) $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值，求得 $\text{[math]}$ 的坐標(biāo)，
（2）cos∠AXB是 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識易解決．
點評：（1）中求最值問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù)；也可以利用 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 反向時， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 有最小值進(jìn)行求解．而（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用．

練習(xí)冊系列答案

68所名校圖書小升初高分奪冠真卷系列答案

伴你成長周周練月月測系列答案

小升初金卷導(dǎo)練系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費課程推薦！	初一	初一免費課程推薦！
高二	高二免費課程推薦！	初二	初二免費課程推薦！
高三	高三免費課程推薦！	初三	初三免費課程推薦！
更多初中、高中輔導(dǎo)課程推薦,點擊進(jìn)入>>