Question

雙曲線C的中心為原點O，焦點在x軸上，l是雙曲線的一條漸近線，經(jīng)過右焦點F做l的垂線，垂足為A，且|

OA

|=2|

FA

|．
（I）求雙曲線C的離心率；
（II）若線段OA的長為1，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），依題意可求得|OA|=2b，|OF|=

5

b=c，從而可求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的離心率e=

5

2

，依題意|OA|=2b=1，可求得a，從而可得雙曲線C的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其右焦點F（c，0），

不妨設(shè)其漸近線l的方程為：y=

b

a

x，即bx-ay=0，
依題意，|FA|=

|bc|

b2+(-a)2

=

bc

c

=b，又|OA|=2|FA|，
∴|OA|=2b，
∴|OF|=

5

b=c，
∴c²=5b²=5（c²-a²），
∴4c²=5a²，
∴求雙曲線C的離心率e=

c

a

=

5

2

．
（Ⅱ）∵|OA|=2b=1，
∴b=

1

2

，
∴c=

5

b=

5

2

，
∴a²=c²-b²=

5

4

-

1

4

=1，
∴雙曲線C的方程為：

x2

12

-

y2

( 1 2 )2

=1，即x²-4y²=1．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分析運算能力，求得雙曲線C的離心率是關(guān)鍵，屬于中檔題．