Question

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.

（I）求橢圓的方程；

（II）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）   （II）定值.

【解析】

試題分析：（I）M是橢圓上的點(diǎn)， 可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值，可求得橢圓方程中的參數(shù)和；（II）利用直線與圓錐曲線相交的一般方法，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求,繼而判定是否為定值.

試題解析：（I）,設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091900351032958579/SYS201309190036110298233648_DA.files/image014.png">，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而求得，故橢圓的方程為;

（II）設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立方程組可得，化簡得：,

設(shè)，則，又, ，由得,

所以,所以，所以為定值.

考點(diǎn)： 1、待定系數(shù)法求橢圓方程;  2、二次函數(shù)求最值 ; 3、直線與圓錐曲線相交的綜合應(yīng)用.