Question

18．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{{x}^{n+1}-1}{x-1}$，g_m（x）=m^x-mx（其中m≥e，n，me為正整數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）
（1）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g_m（x）＞0恒成立；
（2）當(dāng)n＞m≥3時(shí)，試比較f_n（m）與f_m（n） 的大小，并證明．

Answer 1

分析 （1）首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的不等式；
（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮即可證得題中的結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：${g}_{m}^{'}（x）={m}^{x}lnm-m＞{m}^{x}-m$，
結(jié)合x＞1可得：${g}_{m}^{'}（x）＞0$，則函數(shù)g_m（x） 在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
g_m（x）＞g_m（1）=m-m=0．
（2）∵n＞m≥3，令n=m^α，則α＞1，
由（1）可知m^α-mα＞0，∴m^α＞mα，
令h（x）=m^x-（m-i）x-i，i=0，1，2，3，4，…，m-1，x＞1，
則h'（x）=m^xlnm-（m-i）＞m^x-m+i＞m-m+i=i≥0，
∴h（x）＞h（1）=m-m+i-i=0，
∴h（α）＞0，即m^α-i＞（m-i）α，i=0，1，2，3，4，…，m-1，
$\left.\begin{array}{l}{∴{f}_{m}（n）=\frac{{n}^{n+1}-1}{n-1}=1+n+{n}^{2}+{n}^{3}+…+{n}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{（{m}^{α}）}^{2}+{（{m}^{α}）}^{3}+…+{（{m}^{α}）}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{m}^{2α}+{m}^{3α}…+{m}^{mα}}\\{＜1+{m}^{1}+{m}^{2}+…+{m}^{n-（m-1）}+{m}^{n-（m-2）}+…+{m}^{n-1}+{m}^{n}}\\{=\frac{{m}^{n+1}-1}{m-1}={f}_{n}（m），}\end{array}\right.$
即有f_n（m）＞f_m（n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造法，放縮法結(jié)合導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于�？嫉牡湫皖}目．