Question

設函數(shù)f(x)=lnx-

kx-a

ax

-lna(x＞0，a＞0且a為常數(shù))．
（1）當k=1時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）當k=0時，求證：f（x）＞0對一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k為常數(shù)，求證：f（x）的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域為x＞0
當k=1時，f（x）=lnx-

1

x

•x

1

2

+

a

x-

1

2

-lnx
∵f′(x)=

1

x

-

1

2 a

•x-

1

2

-

a

2

x-

3

2

=-

( x - a )2

2 ax x

≤0
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當k=0時，f(x)=lnx+

a

x-

1

2

-lna
f′(x)=

1

x

-

a

2x x

=

2 x - a

2x x

令f′(x)=0得x=

a

4

當0＜x＜

a

4

時，f′(x)＜0，f(x)是單調(diào)減函數(shù)
當x＞

a

4

時，f′(x)＞0，f(x)是單調(diào)增函數(shù)
∴當x=

a

4

時，f(x)有極小值f(

a

4

)=2-2ln2
∵e＞2
∴f(x)的極小值f(

a

4

)=2(1-ln2)=2ln

e

2

＞0
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵f(x)=lnx-

k

a

•x

1

2

+

a

x-

1

2

-lna
∴f′(x)=

-kx+2 ax -a

2 ax x

令f′( x)=0得kx-2

ax

 +a=0
解得

x

=

a

1- 1-k

k

（

x

=

a

1+ 1-k

k

舍去）
∴x=

a

(1+ 1-k )2

當0＜x＜

a

(1+ 1-k )2

，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)
當x＞

a

(1+ 1-k )2

時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)
因此，當x=

a

(1+ 1-k )2

f（x）有極小值
令x0=

a

(1+ 1-k )2

∵f(x0)=ln

x0

a

-k

x0 a

+

a x0

而

x0

a

=

1

(1+ 1-k )2

是與a無關(guān)的常數(shù)
∴lnx0，-k

x0 a

，

a x0

均與a無關(guān)．
∴f（x₀）是與a無關(guān)的常數(shù)．
則f（x）的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．