Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

5π

12

對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：①函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是的

π

2

整數(shù)倍．
②利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．
③利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷f（-

π

6

）=0是否成立．
④利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．

解答：解：①∵函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，∴x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，∴①錯(cuò)誤．
②f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），∴②正確．
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×(-

π

6

)+

π

3

]=4sin（-

π

3

+

π

3

）=0，∴y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱，∴③正確．
④∵f（-

5π

12

）=4sin[2×(-

5π

12

)+

π

3

]=4sin（

π

3

-

5π

6

）=4sin（-

π

2

）=-4，為函數(shù)的最小值，∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

5π

12

對(duì)稱，即④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角誘導(dǎo)公式，和三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．