Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a≤0）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈（﹣3，﹣2），x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2lnx+ ，f′（x）= ﹣ = ，

令f′（x）=0，解得x= ，

當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）＜0；

當(dāng)x≥ 時(shí)，f′（x）＞0

又∵f（ ）=2ln =2﹣2ln2

∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無(wú)極大值．

（2）解：f′（x）= ﹣ +2a= ，

當(dāng)a＜﹣2時(shí)，﹣ ＜ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣ 或x＞ ，

令f′（x）＞0 得﹣ ＜x＜ ；

當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，得﹣ ＞ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜ 或x＞﹣ ，

令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；

當(dāng)a=﹣2時(shí)，f′（x）=﹣ ≤0，

綜上所述，當(dāng)a＜﹣2時(shí)f（x），的遞減區(qū)間為（0，﹣ ）和（ ，+∞），遞增區(qū)間為（﹣ ， ）；

當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；

當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間為（0， ）和（﹣ ，+∞），遞增區(qū)間為（ ，﹣ ）．

（3）解：由（2）可知，當(dāng)a∈（﹣3，﹣2）時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值；

當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取最小值；

|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3+ +6a]= ﹣4a+（a﹣2）ln3，

∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，

∴（m+ln3）a﹣2ln3＞ ﹣4a+（a﹣2）ln3

整理得ma＞ ﹣4a，

∵a＜0，∴m＜ ﹣4恒成立，

∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣ ＜ ﹣4＜﹣ ，

∴m≤﹣ ．

【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2lnx+ ，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解方程，分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．