Question

已知的定義域為，且恒有等式對任意的實

數(shù)成立．

（Ⅰ）試求的解析式；

（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義予以證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

（Ⅱ）函數(shù)在R上為減函數(shù)，證明見解析。

【解析】本試題主要是考查了求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)單調(diào)性的證明。

（1）的定義域為，且恒有等式對任意的實數(shù)成立．，那么可以得到方程組，消元法得到結(jié)論。

（2）設出變量，運用定義法證明單調(diào)性。

解：

1、2f(x)+f(-x)+2^x=0    …………1

2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0    …………2

1式X2－2式得：

3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0

即：f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

2、設x1<x2 可得：

f(x1)-f(x2)

=[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3

=[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3

因：x1<x2 所以有：-x1>-x2 ,x1+1<x2+1

所以：2^(-x1)>2^(-x2)

2^(x2+1)>2^(x1+1)

即：f(x1)-f(x2)>0

所以此函數(shù)在R上為減函數(shù)！