【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當
時，方程
在區(qū)間
內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）對于區(qū)間
上的任意不相等的實數(shù)
、
，都有
成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
(1)由
得
，即
與
的圖象在
上有唯一交點. 設
,利用導數(shù)討論出函數(shù)的單調(diào)性，得出答案.
(2) 不妨設
，當
時，
,則
在
上單調(diào)遞增，則轉(zhuǎn)化為
，即
在上單調(diào)遞減，所以
恒成立，當
時，即
在上單調(diào)遞增，從而可求答案.
（1）解：由
，得，
設，
，
則問題等價于與的圖象在上有唯一交點，
∵
，
∴
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增，
時，
，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵
，
且時，
，
∴.
（2）解：
，
在上單調(diào)遞增.
不妨設，
當時，,則在上單調(diào)遞增，
，
，
∴
可化為
，
∴，
設，即
，
∵
在上單調(diào)遞減，∴恒成立，
即
在上恒成立，
∵
，∴，
當時，
，，
∴可化為
，
∴
，
設，即
，
∵
在上單調(diào)遞增，∴
恒成立，
即
在上恒成立.
∴
，∴，
綜上所述：或.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
，
兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設
是
中點，在的中垂線上有一高鐵站
，
的距離為10公里．為方便居民出行，在線段上任取一點
（點與，不重合）建設交通樞紐，從高鐵站鋪設快速路到處，再鋪設快速路分別到，兩處．因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路
造價為3百萬元/公里，快速路
造價為2百萬元/公里，快速路
造價為4百萬元/公里， 設
，總造價為
（單位：百萬元）．
（1）求關于
的函數(shù)關系式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）求總造價的最小值，并求出此時的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個湖的邊界是圓心為
的圓，湖的一側有一條直線型公路
，湖上有橋
（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點
，并修建兩段直線型道路
.規(guī)劃要求：線段上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點
到直線的距離分別為
和
（
為垂足），測得
，
，
（單位：百米）.
（1）若道路
與橋垂直，求道路的長；
（2）在規(guī)劃要求下，
和
中能否有一個點選在
處？并說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在銳角△ABC中，∠BAC≠60°，過點B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE，且滿足
，直線DE與AB、AC的延長線分別交于點F、G、CF與BD交于點M，CE與BG交于點N.證明：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B以及CD的中點P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界)，且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為
km．
(I)設
，將表示成
的函數(shù)關系式；
(II)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長度最短，并求出最短值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ADC＝90°，DC＝
AB，F(xiàn)，M分別是線段PC，PB的中點．
（1）在線段AB上找出一點N，使得平面CMN∥平面PAD，并給出證明過程；
（2）若PA＝
AB，DC＝
AD，求二面角C—AF—D的余弦值．
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