Question

 已知拋物線＝，圓的圓心為點(diǎn)M。

（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂足于AB，求直線的方程.

 

 

Answer 1

【答案】

 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線，圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

（Ⅰ）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以圓心M（0,4）到拋物線的距離是

 （Ⅱ）解：設(shè)P(x₀, x₀²)，A（）B（），由題意得設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C₂的切線方程為y-x₀=k(x- x₀)

       即，    ①

          則

          即

           設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以

            ，

     將①代入得，

       由于是此方程的根，故所以

由MP⊥AB,得，解得

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線l的方程為。