Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，且a1 ， a2 ， a4+2成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數(shù)列．

∴ =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d=2或﹣1．

其中d=﹣1時(shí)，a2=0，舍去．

∴d=2，可得an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

Sn= =n2．

（2）解： = ．

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， = =16．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， = = ．

∴數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以8為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列．

∴數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= +

= （16n﹣16﹣n）．

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數(shù)列．可得： =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得d，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．（2） = ．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， = =16．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， = = ．可得數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以8為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列．利用求和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．