Question

如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與以點(diǎn)A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個(gè)頂點(diǎn)A′與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)直線l過點(diǎn)A，且斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線S的上支上求點(diǎn)B，使其與直線l的距離為；

（3）當(dāng)0≤k＜1時(shí)，若雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo).

Answer 1

思路解析：本題是直線方程、點(diǎn)到直線的距離、圓、雙曲線等知識(shí)的綜合運(yùn)用.（1）、（2）按條件求解不難.（3）可用數(shù)形結(jié)合，作一條與l平行且與l相距為的直線l′，使l′與雙曲線S的上支相切，切點(diǎn)即為所求.

解：（1）由已知得雙曲線的漸近線為y=±x，因而S為等軸雙曲線，頂點(diǎn)A′與A（，0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱.∴A′（0，），∴所求雙曲線S的方程為y²-x²=2.

（2）若B（x,）是雙曲線S的上支上到l：y=x-的距離為的點(diǎn)，則=,解得x=,y=2,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，2）.

（3）當(dāng)0≤k＜1時(shí)，雙曲線S的上支在直線l的上方，∴點(diǎn)B在直線l的上方，設(shè)直線l′與l：y=k(x-)平行且距離為，直線l′在l的上方，雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，等價(jià)于直線l′與雙曲線S的上支有且只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)l′的方程為y=kx+m，由于l上的點(diǎn)A到l′的距離為，可知=,解得m=(± -k).∵直線l′在直線l的上方，∴m=(-k).由方程y²-x²=2及y=kx+m消去y，得(k²-1)x²+2mkx+m²-2=0.

∵k²≠1,∴Δ=4(m²-2+2k²)=8k(3k-2).

令Δ=0，∵0≤k＜1,解得k=0或k=.

當(dāng)k=0時(shí)，m=,解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, )；

當(dāng)k=時(shí)，m=,解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,).