Question

如圖，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北O(jiān)B，現要修一條地鐵L，在OA上設一站，在OB上設一站，地鐵在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為10km，設地鐵在AB部分的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立關系式：
（i）設∠OAB=α，將y表示為α的函數；
（ii）設OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設在公路上離中心O多遠處，才能使AB最短，并求出最短距離．

Answer 1

分析：（1）（i）過O作OH⊥AB于H，則由∠AOH=

π

2

-α，∠BOH=π-

π

4

-(

π

2

-α)=

π

4

+α及直角三角形的三角關系可求AH=10cotα，BH=10tan(

π

4

+α)，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面積原理得，

1

2

•AB•10=

1

2

mnsin

3π

4

可求AB
（2）選擇方案一：結合正弦函數的性質可求AB的最小值
選擇方案二：由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos

3π

4

=m2+n2+

2

mn≥(2+

2

)mn，結合基本不等式可求AB的最小值

解答：解：（1）（i）過O作OH⊥AB于H
由題意得，∠AOH=

π

2

-α，∠BOH=π-

π

4

-(

π

2

-α)=

π

4

+α
且0＜α＜

π

2

tan∠AOH=cotα=

AH

10

即AH=10cotα…（2分）
tan∠BOH=tan(

π

4

+α)=

BH

10

即BH=10tan(

π

4

+α)…（4分）
∴AB=BH+AH=10tan(

π

4

+α)+10cotα=10(

cosα

sinα

+

sinα+cosα

cosα-sinα

)=

20

2 sin(2α+ π 4 )-1

…（8分）
（ii） 由等面積原理得，

1

2

•AB•10=

1

2

mnsin

3π

4

即AB=

mn

10 2

…（10分）
（2）選擇方案一：當α=

π

8

時|AB|min=20(

2

+1)，…（12分）
此時OA=OB=

10

sin π 8

，而cos

π

4

=1-2sin2

π

8

=

2

2

所以OA=OB=10

4+2 2

．                         …（14分）
選擇方案二：因為tan∠AOB=

3π

4

，
由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos

3π

4

=m2+n2+

2

mn≥(2+

2

)mn
∴AB2≥20(

2

+1)AB…（12分）
即AB≥20(

2

+1)（當且僅當m=n=10

4+2 2

時取等號）…（14分）

點評：本題主要考查了解三角形在實際問題中的應用，綜合考查了基本不等式的知識，解題的關鍵是合理的把實際問題轉化為數學問題