Question

若直線2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，則

2

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,直線與圓的位置關系

專題：不等式的解法及應用

分析：直線2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，可得：直線2ax+by-2=0（a，b∈R^*）經(jīng)過圓心，于是a+b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：圓x²+y²-2x-4y-6=0化為（x-1）²+（y-2）²=11，圓心為C（1，2），
∵直線2ax+by-2=0（a，b∈R^*）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，
∴直線2ax+by-2=0（a，b∈R^*）經(jīng)過圓心C（1，2），
∴2a+2b-2=0，化為a+b=1．
∴

2

a

+

1

b

=（a+b）(

2

a

+

1

b

)=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

，當且僅當a=

2

b=2-

2

時取等號．
∴

2

a

+

1

b

的最小值是3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查了圓的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．