Question

已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+

π

6

)+b的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，1]，則函數(shù)g（x）=a^bx+7在[b，a]上，（　�。�

• A、有最大值2
• B、有最小值2
• C、有最大值1
• D、有最小值1

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：此題考查正弦型函數(shù)的值域問題，配合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性最值問題，設(shè)t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，那么t∈[

π

6

，

7π

6

]是關(guān)鍵

解答： 解：∵已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+

π

6

)+b的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，1]
∴不妨設(shè)t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，那么t∈[

π

6

，

7π

6

]
∴h（t）=f（x）=2asint+b，a＞b
∴f（x）_max=h（

π

2

）=2asin

π

2

+b=1①
  f（x）_min=h（

7π

6

）=2asin

7π

6

+b=-5②
由①②解得，
∴a=2，b=-3
又∵g（x）=2^-3x+7在[-3，2]上單調(diào)遞減
∴g（x）_min=g（2）=2
即，函數(shù)g（x）=a^bx+7在[b，a]上有最小值2
故選：B．

點評：此題考查正弦型函數(shù)的值域問題，需要采用換元的思想，是一道基礎(chǔ)題目，也是高考常見題型．