Question

數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問，先利用是和的等差中項(xiàng)，得到，由求，注意的情況，不要漏掉，會(huì)得到為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式直接寫出和，再利用已知求出，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二問，先化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和求，利用放縮法比較與的大小，作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以最小值為，即，所以.
試題解析：（1）∵是和的等差中項(xiàng)，∴
當(dāng)時(shí)，，∴
當(dāng)時(shí)，，
∴ ，即                                               3分
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，                                                 5分
設(shè)的公差為，，，∴
∴                                              6分
（2）                      7分
∴       9分
∵,∴                                   10分

∴數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列     ∴.
綜上所述，  .         12分
考點(diǎn)：1.等差中項(xiàng)；2.由求；3.等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式；4.裂項(xiàng)相消法求和.