Question

【題目】定義：過(guò)橢圓上的一點(diǎn)（不與長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)確定的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形；已知過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（不與長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合）的焦點(diǎn)三角形，且．

（1）求證：焦點(diǎn)三角形的面積為定值；

（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)三角形為，；

①若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；

②若，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，且，記，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①或；②或．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義、余弦定理及三角形面積公式推理運(yùn)算即可；

（2）①先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦半徑公式表示出，根據(jù)余弦定理用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用的范圍求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍；②利用（1）的結(jié)論及條件先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后在中利用面積公式求出即可.

解：（1）證明：設(shè)，由橢圓定義有，在三角形中，由余弦定理得：，

即，所以 .

（2）①設(shè)，由已知得：，.

在三角形中，由焦半徑公式得：，

由余弦定理得：，

代入并化簡(jiǎn)得：，故或 .

②由（1）可知，可得，或.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

在三角形中，，

由余弦定理得：得.

則，所以，所以，∴，所以 .

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同理可得

綜上所述，或．