Question

如圖，四棱錐中，側面是等邊三角形，在底面等腰梯形中，，，，，為的中點，為的中點，.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面平行的判定，運用傳統(tǒng)幾何法證明，突出考查空間想象能力.第一問，利用已知的邊長和特殊關系，證明出，，所以利用線面垂直的判定定理就會得出平面，再利用面面垂直的判定定理即可；第二問，先利用線面平行的判定定理證明∥平面，通過同位角相等可以得出，再證明平面，再通過面面平行的判定定理得到平面∥平面，所以面內的線平行平面.

試題解析：（Ⅰ）∵是等邊三角形，是的中點，

∴， ．        2分

∵在中，，，        3分

∴，∴．

在中，，    4分

∴是直角三角形．∴．

又∵，，∴平面．

又∵平面，∴平面⊥平面．    6分

（Ⅱ）取的中點，連接．

∵，點分別是的中點，∴．

又平面，平面，所以∥平面．         8分

∵點是的中點，∴，

又，∴是等邊三角形，∴．

又平面，平面，所以平面．

∵，∴平面∥平面．

∵平面，∴平面．           12分

考點：1.余弦定理；2.勾股定理；3.線面垂直的判定定理；4.面面垂直的判定定理；5.線面平行的判定定理；6.面面平行的判定定理.