Question

已知橢圓C₁的焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是雙曲線C₂的頂點，且橢圓C₁與雙曲線C₂的一個交點為M（

2 3

3

，

3

3

）．
（1）求橢圓C₁及雙曲線C₂的標準方程；
（2）若點P是雙曲線右支上的動點，點Q是y軸上的動點，且滿足F₁P⊥F₁Q，判斷直線PQ是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出橢圓C₁及雙曲線C₂的標準方程，利用橢圓的定義，結合橢圓C₁與雙曲線C₂的一個交點為M（

2 3

3

，

3

3

），求出幾何量，即可得到標準方程；
（2）確定直線F₁Q的方程，可得Q的坐標，直線PQ的方程，將y₀²=1-x₀²，代入，即可得出結論．

解答： 解：（1）設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線C₂的方程是x2-

y2

b12

=1，
則2a=|MF₁|+|MF₂|=

8+4 3 3

+

8-4 3 3

=2

2

，

12

9

-

1 3

b12

=1
∴a=

2

，b=1，b₁=1，
∴橢圓C₁：

x2

2

+y2=1，雙曲線C₂的方程是x²-y²=1；
（2）設點P的坐標是（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=1，
k_F1P=

y0

x0+1

，∴k_F1Q=-

x0+1

y0

，
∴直線F₁Q的方程是y=-

x0+1

y0

（x+1），
令x=0得y=-

x0+1

y0

，即Q（0，-

x0+1

y0

），
∴直線PQ的方程為

y-y0

- x0+1 y0 -y0

=

x-x0

-x0

，
將y₀²=1-x₀²，代入可得x₀y₀y=（x₀+x₀²）（x-1），
∴過定點F₂（1，0）．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．